Стартовал заключительный тур по произведению «Щелкунчик и мышиный король»

Заключительный тур по произведению Эрнста Теодора Амадея Гофмана «Щелкунчик и мышиный король» посвящен задачам на части и отношения - исторически одним из самых старых. Широко известна древнеримская задача о наследстве.

Пример 1. Хозяин, умирая, оставил беременной жене завещание, согласно которому наследство необходимо было разделить между ребенком и женой в зависимости от пола первого: если жена родит дочь, то 2/3 достаётся жене, 1/3 дочери. Если родится сын, то жене отдать 1/3, сыну 2/3.

Жена родила двойню: сына и дочь. Как поделить наследство?

Решение. Во 2 веке до н.э. римским юристом Сальвием Юлианом было предложено разделить имущество на семь частей: сыну отдать четыре части, матери --- две, дочери --- одну. В соответствии с завещанием сын получит вдвое больше матери, которая получит вдвое больше дочери.

Пример 2. Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу --- впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру --- на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.

Решение. Пусть Чижу досталось x долек апельсина, тогда Ежу --- 2x. Бобру достанется, с одной стороны --- x+8, а с другой --- 5x.

Отсюда: x+8=5x, откуда x=2. Тогда всего в апельсине было: 2 (у Чижа) + 4 (у Ежа) + 10 (у Бобра) = 16 долек.

Иногда полезно представлять не только строго аналитическое, формальное решение. Более глубокому осознанию заложенной в задаче идеи служит наглядная интерпретация. Покажем это на следующем примере.

Пример 3. Известно, что среди хоббитов-садоводов каждый седьмой --- хоббит-огородник, а среди хоббитов-огородников каждый пятый --- хоббит-садовод. Кого больше: бобров или погрызателей берёз?

Решение. Очевидно, что все множество представленных персонажей делится на три типа: <<хоббиты-садоводы>>, <<хоббиты-огородники>> и <<хоббиты-универсалы>>. Обозначим последних через a, садоводов через b, а огородников через p. Тогда, с одной стороны, a=b/7, а с другой a=p/5.

Отсюда b/7=p/5, или 5b=7p, т.е. садоводов в 7/5 раз больше, чем огородников.

Наглядно описанную выше ситуацию можно представить следующим образом:

Пример 4. Рик и Морти в своих путешествиях наткнулись на остров, на котором 2/3 всех особей мужского пола были женаты, а 3/5 всех особей женского пола --- замужем. На удивление друзей оказалось, что мораль островитян в плане заключения браков вполне соответствовала нашей. Какая доля населения острова состоит в браке?

Решение. Пусть всего в браке состоят 2t человек. Посчитаем количество особей мужского пола:

t:(2/3)=3/2t,

и женского пола:

t:(3/5)=5/3t.

Всего на острове живут:

(3/2+5/3)t=19/6 t,

из которых 2t в браке, таким образом, в браке состоит

2t:(19/6)t=(12/19) жителей острова.

Повеселятся школьники
В свободные деньки.